こちらのアプリでは、リスト画面左上のメニュー（≡）→「バックアップ」から、ご自身のGoogleドライブにノートのデータをバックアップできます。この機能は無料でお使いいただけます。
バックアップは自動同期ではありません。勝手に同期が実行されることはなく、「バックアップデータを作成します」または「バックアップを上書きします」をタップしたときだけ、その時点のデータがGoogleドライブに保存されます。
同じGoogleアカウントをお使いでしたら、タブレットなど他の端末とのデータ連携も可能です。同じバックアップデータを参照するため、片方の端末でバックアップを作成・上書きして、もう一方の端末で「バックアップから復元します」をタップすれば、データを移行できます。
毎回手動でバックアップの上書き・復元をタップする必要がありますが、機種変更や、端末の故障・紛失への備えとしてご活用ください。