まず、このアプリのバックアップは自動同期ではなく、手動でおこなう必要がありますので、その点をご理解ください。
やり方は、まずデータの元としたい方の端末で「バックアップデータを作成します」（すでにバックアップがある場合は「バックアップを上書きします」）をタップします。その後、データを引き継ぎたい方の端末で「バックアップから復元します」をタップしてください。これでデータが同期されます。
万が一うまくいかないときは下記をご確認ください。
- 両方の端末で、同じGoogleアカウントでログインしているか確認してください（バックアップ画面の「Googleアカウント」に表示されます）
- インターネットに接続した状態でお試しください
- バックアップ画面の右上の更新アイコンをタップして、最新の状態を読み込んでください
- 「ログアウト」をタップしてから、再度「Googleでログイン」でログインし直してください
- Googleドライブの空き容量が十分にあるか確認してください
- 両方の端末のアプリが最新版にアップデートされているかご確認ください
- 端末を再起動して、お試しください
これでもうまくいかない場合は、大変お手数ですが、ヘルプ画面右上の「お問い合わせ」ボタンから、どこでつまづくのか詳細を教えていただけないでしょうか。原因の対処方法について、ご回答いたします。よろしくお願いいたします。